一般に，回転という操作の順番を変えるわけにはいきませんが、無限小回転の場合に限って順番を変えても良い、ということでした。

もう少し，このことの考察を進めてみましょう。

下図のように、微小な回転によってベクトル$r$ が $r'$ に移されたとしましょう。

このとき、下図を見れば、$r'=r+\delta r$ と書けることが分かると思います。

ベクトル $r$ を $r'$に移す変換を、行列 A を用いて $r'=A r$ と表わすことにします。

ベクトルの微小変化 $\delta r$ を，行列 $\varepsilon$ を用いて $\delta r=\varepsilon r$ と表すことにすれば、 $r'=r+\delta r=(E+\varepsilon )r$ ですから， $A$ は次のように書けるでしょう．

$A=E+\varepsilon$

この段階では，行列 $\varepsilon$ がどのような形をしているかまだよく分からないので、 とりあえず成分を次のように書いておきます。

未知の成分が現段階で 9 つあることを確認しておいて下さい．

$\varepsilon= \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{pmatrix} $

いまから行列 $\varepsilon$ の形と成分を、もう少し詳しく考えてみます。

道具として使うのは $A$ の逆行列と、$A$ が回転を表す行列なので直交行列であるという性質の二つです。

まず $A=(E+\varepsilon)$ の逆行列ですが、これは $A^{-1}=(E-\varepsilon)$ です。

ちょっと天下り的ですが、確かに次のように $A$ と $A^{-1}$ を掛け合わせてみれば単位行列 $E$ になることから確認できます。
$\varepsilon$ の自乗が無視できることに注意して下さい。

$AA^{-1}=(E+\varepsilon)(E-\varepsilon)=E+\varepsilon-\varepsilon-\varepsilon \varepsilon = E$

一方、$A$ は回転を表す行列ですから、直交行列です。

直交行列というのは、転置行列が逆行列になっているような行列のことを言うのでした。

つまり $A^{t}=A^{-1}$ が成り立つはずです。

( $A$ の転置行列を $A^{t}$ で表します。

一般に行列の和と転置行列に関して $(A+B)^{t} = A^{t} +B^{t}$ が成り立つことを使います．

ここでは，証明はしませんので，よく分からない人は線形代数を復習してみてください．)

$A=(E+\varepsilon)$ の転置行列を考えてみましょう．

$A^{t}=(E+\varepsilon)^{t}=E^{t}+\varepsilon^{t}=E+\varepsilon^{t}$

よって， $A^{t}=A^{-1}$ より， $E-\varepsilon=E+\varepsilon^{t}$ が言えます．

両辺から $E$ を引けば次の関係式が得られます．

$\varepsilon = -\varepsilon^{t}$

これを行列 $\varepsilon$ の成分で直接考えれば，次のような関係がなりたっているということです．

$ \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\varepsilon_{11} & -\varepsilon_{21} & -\varepsilon_{31} \\ -\varepsilon_{12} & -\varepsilon_{22} & -\varepsilon_{32} \\ -\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & -\varepsilon_{33} \end{pmatrix} $

両辺の成分を一つ一つを見比べて， $\varepsilon$ の形を次のように決めることが出来ます．

簡単のため， $\varepsilon_{12}=-r$, $\varepsilon_{13}=q$, $\varepsilon_{23}=-p$ のように置きました．

$ \varepsilon= \begin{pmatrix} 0 & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ -\varepsilon_{12} & 0 & \varepsilon_{23} \\ -\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & 0 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & -r & q \\ r & 0 & -p \\ -q & p & 0 \end{pmatrix} $

このような形の行列を反対称行列と呼びます．

( p,q,r の並べ方と，マイナスのつけ方ですが，実はちょっと訳あって，このようにしました．

無限小回転の話2 でじきにこの理由が分かります．楽しみに待っていてください．フフフ)

これは非常に感動的な結果です．

一般に，３次元のベクトルに行列を作用させて有限回転を表現するには $3 \times 3$ の行列が必要で， 9 つの成分を決める必要があったわけです．

ところが，微小回転ではたった 3 成分で済むというのですから，計算の労力が一気に三分の一に減ってしまったのです！！

ここまで 無限小回転1 で次のようなことを勉強しました．

• 有限回転では，一般に回転の順序を変えることができないということ．
• 無限小回転においては，回転の順序を交換することができるということ．
• ベクトルを無限小回転させたときの変化分は，元のベクトルに反対称行列を掛けることによって表わされるということ．

この項では，さらに回転についての考察を進めていきます．

我々は，無限小回転の変化 $\delta r=r'-r=\varepsilon r$ が，次のような反対称行列 $\varepsilon$ を使って表わされることを既に知っています．

これは $\varepsilon$ の二次以上の積が無視できることと， $\varepsilon$ が直交行列であることから導き出された結果でした．

$ \varepsilon= \begin{pmatrix} 0 & -r & q \\ r & 0 & -p \\ -q & p & 0 \end{pmatrix} $

では実際に，この行列 $\varepsilon$ をベクトル $x=(x,y,z)$ に掛けてみることにしましょう．さぁ，どうなるでしょうか．

$ \varepsilon x= \begin{pmatrix} 0 & -r & q \\ r & 0 & -p \\ -q & p & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} qz-ry \\ rx-pz \\ py-qx \end{pmatrix} $

あれ！？この結果を見て，なんだかピンと来ませんか？ムムム，どこかで見たような形です．

$ \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} qz-ry \\ rx-pz \\ py-qx \end{pmatrix} $

そうです．式(1)の結果は，ベクトル $(p,q,r)$ と $(x,y,x)$ の外積と，同じになっているのです！

反対称行列の積は，形式的に，ベクトルの外積に書き換えることができるということです．

行列よりもベクトルの方がずっと扱いが簡単ですから，この結果は，今後の計算のためにも非常に有用だと言わねばなりません．

またしても，計算が簡単になってしまいました．

$ \varepsilon x= \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ x \end{pmatrix} $

『反対称行列の代わりに外積を取るために作ったベクトル』のことを軸性ベクトル(もしくは擬ベクトル)と呼びます．

例えば，この $(p,q,r)$ は軸性ベクトルです．

軸性ベクトルではないベクトルのことを極性ベクトルと呼びます．

極性ベクトルと軸性ベクトルの定義には色々ありますから，これは一つの説明の方法にすぎませんが，覚えておくといいと思います．

$ \varepsilon x= \begin{pmatrix} 0 & -r & q \\ r & 0 & -p \\ -q & p & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ x \end{pmatrix} $

無限小回転の回転行列である$\omega$の代わりになる軸性ベクトルの$(p,q,r)$ を$d\Omega$と呼ぶ事にします。

$ d\Omega= \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} $・・・・(3)

$d$ がついているのは，微小だよ，ということを意味するためのもので，何かの微分になっているという意味ではないことに注意してください．

しかし、$d\Omega$ を時間$dt$で割ると「角速度$\omega$」になるので、以下の式が成り立つ事を予感させます。

$ \delta r= \varepsilon r= d\Omega \times r= \omega \times r $

教科書では、いきなり「角速度$\omega$」が登場して、何の事か説明がなく不思議に思っていましたが、 無限小回転の回転行列$\varepsilon$の代わりになる軸性ベクトル$d\Omega$に対応するようです。

以下の二つの直交座標系を考えます。

①空間に固定された直交座標系：$\Sigma(O:\boldsymbol{i}_1,\boldsymbol{i}_2,\boldsymbol{i}_3)$

②運動する直交座標系：$\Sigma'(O':\boldsymbol{i}'_1,\boldsymbol{i}'_2,\boldsymbol{i}'_3)$

原点$O'$も、基底ベクトル${i'_1,i'_2,i'_3}$も時間tと変動するものとします。

$O$を原点とする$O'$の位置ベクトルを$r_0$とします。

一般の点$P$の$\Sigma$に関する位置ベクトルを$r$とします。

一般の点$P$の$\Sigma'$に関する位置ベクトルを$r'$とします。

以下の関係が成り立ちます。

$r=r_0+r'$

$r=(x_1,x_2,x_3)$

$r_0=(x_{01},x_{02},x_{03})$

$r'=(x'_1,x'_2,x'_3)$

位置ベクトル$r$の時間微分（速度）は、以下のように計算できます。

$v=\displaystyle \frac{dr}{dt}=\displaystyle \sum_{i=1}^{3} \frac{dx_i}{dt}\boldsymbol{i}_i=\frac{dr_0}{dt}+\frac{dr'}{dt}$

位置ベクトル$r'$の時間微分（速度）である$\frac{dr'}{dt}$は、以下のように計算できます。

$\displaystyle \frac{dr'}{dt}=\displaystyle \sum_{i=1}^{3} \frac{d}{dt}(x'_i\boldsymbol{i}_i) =\displaystyle \sum_{i=1}^{3} \frac{dx'_i}{dt}\boldsymbol{i}_i+\displaystyle \sum_{i=1}^{3} x'_i\frac{d\boldsymbol{i}'_i}{dt}$

上式の第1項は、運動する直交座標系$\Sigma$の原点$O'$から見た点$O$の速度なので、以下のように$v'$とします。

$v' \equiv \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \frac{dx'_i}{dt}\boldsymbol{i}_i$

また、直交座標系$\Sigma$の原点$O'$の速度を以下のように$v_0$とします。

$v_0 \equiv \displaystyle \frac{dr_0}{dt}$

すると、位置ベクトル$r$の時間微分（速度）は、以下のようになります。

$v=\displaystyle \frac{dr}{dt}=v_0+v'+\displaystyle \sum_{i=1}^{3} x'_i\frac{d\boldsymbol{i}'_i}{dt}$・・・・(1)

ここで、擬ベクトル$\tilde{\omega}$を導入すると位置ベクトル$r$の時間微分（速度）は、以下のようになります。

$v=\displaystyle \frac{dr}{dt}=v_0+v'+\tilde{\omega} \times r'$

上式で導入した擬ベクトル$\tilde{\omega}$について、以下にその定義を行います。

任意のベクトル$c$について、以下の関係が成り立ちます。

$c=\displaystyle \sum_{i=1}^{3} (c\cdot \boldsymbol{i}'_i)\boldsymbol{i}'_i$

上式を時間$t$で微分すると、以下の式を得ます。

$\displaystyle \frac {dc}{dt}= \displaystyle \sum_{i=1}^{3} (c\cdot \frac {d\boldsymbol{i}'_i}{dt})\boldsymbol{i}'_i+ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} (c\cdot \boldsymbol{i}'_i)\frac {d\boldsymbol{i}'_i}{dt}+ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} (\frac {dc}{dt}\cdot \boldsymbol{i}'_i)\boldsymbol{i}'_i$

上式の第3項は左辺に等しいので、以下の式を得ます。

$\displaystyle \sum_{i=1}^{3} (c\cdot \frac {d\boldsymbol{i}'_i}{dt})\boldsymbol{i}'_i= -\displaystyle \sum_{i=1}^{3} (c\cdot \boldsymbol{i}'_i)\frac {dc}{dt}$

そこで、以下のような擬ベクトル$\tilde{\omega}$を導入します。

$\tilde{\omega}=\frac{1}{2}\displaystyle \sum_{i=1}^{3} \boldsymbol{i'}_i\times \frac{d\boldsymbol{i'}_i}{dt}$

$\tilde{\omega}=\displaystyle \frac{1}{2}(\boldsymbol{i}'_1\times \frac{d\boldsymbol{i}'_1}{dt})+ \frac{1}{2}(\boldsymbol{i}'_2\times \frac{d\boldsymbol{i}'_2}{dt})+ \frac{1}{2}(\boldsymbol{i}'_3\times \frac{d\boldsymbol{i}'_3}{dt})$

次に、$\tilde{\omega}\times r'$を計算して見ると、(1)式の右辺の第3項になる事が分かります。

$\tilde{\omega}\times r'=\frac{1}{2}\displaystyle \sum_{i=1}^{3} (\boldsymbol{i'}_i\times \frac{d\boldsymbol{i'}_i}{dt})\times r'$

$=\frac{1}{2}\{\displaystyle \sum_{i=1}^{3}(r' \cdot \boldsymbol{i}'_i)\frac{d\boldsymbol{i}'_i}{dt} - \displaystyle \sum_{i=1}^{3}(r'\cdot \frac{d\boldsymbol{i}'_i}{dt})\boldsymbol{i}'_i\}$・・・・(2)

上記の計算では、以下のベクトル三重積の公式を使いました。

$(A\times B)\times C=(A\cdot C)B-(B\cdot C)A$

（2）式の右辺の第2項は、以下のようになります。

$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}(r'\cdot \frac{d\boldsymbol{i}'_i}{dt})\boldsymbol{i}'_i= (r'\cdot \frac{d\boldsymbol{i}'_1}{dt})\boldsymbol{i}'_1+ (r'\cdot \frac{d\boldsymbol{i}'_2}{dt})\boldsymbol{i}'_2+ (r'\cdot \frac{d\boldsymbol{i}'_3}{dt})\boldsymbol{i}'_3$