Green関数
Green関数を紹介します。
Green関数とは
Green関数とは
Green関数 (Green's function) とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるGreen関数法に現れる関数である。
Green関数法は、英国の数学者George Greenによって考案された。
物理学、数学、工学各分野において非常に重要な関数であり、広い用途で使用される。
物理学におけるGreen関数はプロパゲーター（伝播関数）とも呼ばれる。
Sturm-Liouville方程式とGreen関数
区間[a, b]で定義された非斉次型のSturm-Liouville方程式を考える。
\begin{align} \mathcal{L}u(t) = \cfrac{d}{dt}\left[p(t)\cfrac{du(t)}{dt}\right]-q(t)u(t)=f(t) \end{align}f(t)は入力（強制項）と考え、u(t)を入力f(t)と演算子Lによる出力と考える。
境界条件は、以下とする。
\begin{align} \alpha_1 u(a) + \alpha_2 u\!'(a) = 0 \end{align} \begin{align} \beta_1 u(a) + \beta_2 u\!'(a) = 0 \end{align}L-1なる演算子があるものとしてL-1L = 1になるとすると、 上記の式に演算子L-1を掛けると、以下の式を得る。
\begin{align} \mathcal{L^{-1}}\mathcal{L}u(t) = u(t) = \mathcal{L^{-1}}f(t) \end{align}上記の式は、入力f(t)が演算子L-1によって変換されて出力u(t)になった形になっている。
ここで、Green関数を以下のように定義する。
\begin{align} \mathcal{L}G(t,\xi) = \delta(t-\xi) \end{align}ただし、Green関数は上記の境界条件を満足するものとする。
次に、上記の非斉次型のSturm-Liouville方程式の両辺にf(ξ)を掛けて、aからbまでξについて積分すると、以下の式を得る。
\begin{align} \int_a^b \mathcal{L}G(t,\xi)f(\xi)d\xi = \mathcal{L}\left[\int_a^b G(t,\xi)f(\xi)d\xi\right] = \int_a^b f(\xi)\delta(t-\xi)d\xi = f(t) \end{align}これを上記の非斉次型のSturm-Liouville方程式と比較すると、以下のようなu(t)の解を得る。
\begin{align} u(t) = \mathcal{L^{-1}}f(t) = \int_a^b G(t,\xi)f(\xi)d\xi \end{align}
インパルスδ(t-ξ)の応答がG(t,ξ)
これは、Green関数がインパルスδ(t-ξ)入力に対する応答（出力）であることを示している。
簡単な例：電荷ポテンシャル
領域 x≧0, y≧0 に広がる誘電率εの一様な二次元誘導体にの中に電荷分布ρ(x, y)が与えられた物理系を考える。
静電場のポテンシャルφ(x, y)が満たすポアソン方程式は以下の通りである。
\begin{align} \Delta \phi(x,y) = \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = -\cfrac{\rho(x,y)}{\epsilon} \end{align}境界条件は、以下の通りとする。
\begin{align} \phi(\infty,y) = \phi(x,\infty) = 0 \end{align} \begin{align} \phi(x,0) = f(x) \end{align} \begin{align} \cfrac{\partial \phi(0,y)}{\partial x} = g(y) \end{align}このような場合に有効な変換は、xについてはFourier cosine変換であり、yについてはFourier sine変換である。
Green関数は、以下のようになる。
\begin{align} G(x,y,x^{'},y^{'}) = \cfrac{4}{\pi^2} \int_0^\infty \cfrac{\cos kx \sin ly \cos kx^{'} \sin ly^{'}}{k^2 + l^2} dkdl \end{align}静電場のポテンシャルφ(x, y)は、以下のようになる。
\begin{align} \phi(x,y) = \int_0^\infty f(x^{'})\left | \cfrac{\partial}{\partial y~{'}} G(x,y,x^{'},y^{'})\right|_{y^{'}=0} dx^{'} \\ -\int_0^\infty g(y^{'}) G(x,y,0,y^{'})dy^{'} \\ +\int_0^\infty G(x,y,x^{'},y^{'})\cfrac{\rho(x^{'}, y^{'})}{\epsilon} dx^{'}dy^{'} \end{align}上記の第1項と第2項は、境界条件に依存しており、以下の第3項は、Green関数の領域内の積分を示している。
\begin{align} \int_0^\infty G(x,y,x^{'},y^{'})\cfrac{\rho(x^{'}, y^{'})}{\epsilon} dx^{'}dy^{'} \end{align}偏微分方程式とは
ラプラス演算子
ラプラス演算子（作用素）は、以下のような記号Δで表される。
\begin{align} \Delta = \cfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2}{\partial z^2} \end{align}ラプラス方程式
\begin{align} \Delta \phi = \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 \end{align}ポアソン方程式
\begin{align} \Delta \phi = \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = f(x,y,z) \end{align}波動方程式
\begin{align} \Delta \phi = \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} \end{align}熱伝導方程式（拡散方程式）
\begin{align} \Delta \phi = \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \cfrac{1}{\kappa^2}\cfrac{\partial \phi}{\partial t} \end{align}ヘルムホルツ方程式
\begin{align} \Delta \phi = \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = -k^2\phi \end{align}電信方程式
\begin{align} \Delta \phi = \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + \cfrac{1}{\kappa^2}\cfrac{\partial \phi}{\partial t} + \mu^2\phi \end{align}シュレーディンガー方程式
\begin{align} \cfrac{\hbar^2}{2m}\Delta \phi = \cfrac{\hbar^2}{2m}\left(\cfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \cfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right) = i\hbar\cfrac{\partial \phi}{\partial t} - V\phi \end{align}Fourier積分とは
Fourier積分
Fourier積分は以下の式で表される。
\begin{align} F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \end{align}Fourier逆積分
Fourier逆積分は以下の式で表される。
\begin{align} f(t) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega \end{align}Fourier積分の意味
Fourier積分自体は数学的に成り立つ道具であり、使い方次第である。
そこには固定した物理的な意味などはない。
Fourier積分とスペクトル
このように波f(x)をフーリエ変換してそこに含まれる成分ごとに表した関数F(ω)のことを「スペクトル」、あるいは「スペクトラム」と呼ぶことがある。
前者の方が昔から使われていて広く普及している用語だがフランス語経由であり、後者は英語(spectrum)経由の呼び方である。
近頃は学術的な知識を英語を通してやり取りする機会が増えたので、ついつい後者を使う人もよく見かけるようになってきた。
元々、プリズムで七色に分解された光の色彩をニュートンがラテン語由来の用語としてスペクトルムと名付けたのが始まりである。
プリズムの七色も光が周波数ごとに分解されたものであり、その概念が他の多くの分野にも拡張使用されているのである。
応用のされかたによって、「周波数スペクトル」や「波長スペクトル」や「波数スペクトル」など、色んな風に呼ばれたりする。
フーリエ変換に関係ない場面でも、分布図のことをスペクトルと呼ぶことがあるのであまり固く考えてはいけない。それぞれの分野の伝統に倣って柔軟に受け止めることにしよう。
そう言えば、フーリエ変換に限らず、前回まで話してきたフーリエ級数展開の係数についてもスペクトルと呼んだりするのだった。
フーリエ級数の係数αnのようにとびとびの分布のものを「離散スペクトル」と呼び、今回のフーリエ変換のように連続的な分布のものを「連続スペクトル」とかいうこともある。
Fourier級数
周期Tの関数f(t)は、以下のようなFourier級数で表すことができる。
\begin{align} f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n e^{jn\omega_0 t} \hspace{30pt} \omega_0 = \cfrac{2\pi}{T} \end{align}フーリエ級数の係数αn（離散スペクトル）は、以下のように計算される。
\begin{align} \alpha_n = \cfrac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt \end{align}標本化データ
サンプリングされたパルス列fnを標本化データと呼ぶ。ωcは、サンプリング周波数である。
\begin{align} f_n = f(n \cfrac{\pi}{\omega_c}) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} F(\omega) e^{jn\pi\omega/\omega_c} d\omega \end{align}フーリエ積分である関数F(ω)を区間(-ωc,ωc)でFourier級数に展開すると以下のようになる。
\begin{align} F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n e^{-jn2\pi\omega/2\omega_c} \hspace{30pt} |\omega|\lt \omega_c \end{align}係数Anは、Fourier級数の定義から以下のように計算できる。
\begin{align} A_n = \cfrac{1}{2\omega_c}\int_{-\omega_c}^{\omega_c} F(\omega) e^{-jn\pi\omega/\omega_c} d\omega \end{align}上式の右辺の積分値は、2πfnに等しいから、係数Anは、以下のようになることが分かる。
\begin{align} A_n = \cfrac{2\pi f_n}{2\omega_c} = \cfrac{\pi}{\omega_c} f_n \end{align}すると関数F(ω)は、標本化データfnとサンプリング周波数ωcから計算できて、以下のようになる。
\begin{align} F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n e^{-jn2\pi\omega/2\omega_c} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \cfrac{\pi}{\omega_c} f_n e^{-jn\pi\omega/\omega_c} \hspace{30pt} |\omega|\lt \omega_c \end{align}サンプリング定理
以下のように、関数f(t)のFourier積分である関数F(ω)が、サンプリング周波数ωcより上でゼロとする（フィルタリングする）。
\begin{align} F(\omega) = 0 \hspace{30pt} |\omega|\ge \omega_c \end{align} \begin{align} F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \cfrac{\pi}{\omega_c} f_n e^{-jn\pi\omega/\omega_c} \hspace{30pt} |\omega|\lt \omega_c \end{align}ここで、矩形パルスpωcを使用すると、上記の関数F(ω)は以下のように書ける。
\begin{align} F(\omega) = p_{\omega_c}(\omega) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \cfrac{\pi}{\omega_c} f_n e^{-jn\pi\omega/\omega_c} \end{align}また、以下の矩形パルスpωcに関するフーリエ積分の関係式を用いる。
\begin{align} \cfrac{\omega_c}{\pi} \cfrac{\sin(\omega_c t - n\pi)}{\omega_c t - n\pi} \leftrightarrow p_{\omega_c} e^{-jn\pi\omega/\omega_c} \end{align}すると、サンプリング定理は、以下のパルス列fnからf(t)が復元できることを示している。
\begin{align} f_n = f(n \cfrac{\pi}{\omega_c}) \end{align}パルス列fnから復元される関数f(t)は、以下のように計算される。
\begin{align} f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f_n \cfrac{\sin(\omega_c t-n\pi)}{\omega_c t - n\pi} \end{align}Fourier積分定理
この時、固有値はnω0になる。
\begin{align} n\omega_0 = n\cfrac{2\pi}{T} \end{align}隣合う固有値の差は、ω0になるが、T→∞で限りなく小さくなる。そこでdωを以下のように考える。
\begin{align} d\omega = n\omega_o - (n-1)\omega_o = \omega_o = \cfrac{2\pi}{T} \end{align}そうすると、ω0になるが、T→∞で限りなく小さくなる。そこでdωを以下のように考える。
\begin{align} \omega_o\sum f_n \to \int d\omega f(t) \end{align}δ(t-t0)のフーリエ変換F(ω)は、以下のようにexp(-jωt0)となる。
\begin{align} F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) e^{-j\omega t} dt = e^{-j\omega t_0} \end{align}つまり、δ(t)のフーリエ変換F(ω)は、「1」となる。従って、δ(t)は、以下のように「1」の逆フーリエ変換から求めることができる。
\begin{align} \delta(t) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\omega t} dt \end{align}以上の事から、フーリエ級数f(t)のフーリエ変換F(ω)は、以下のように等間隔ω0のパルス列で表される。
\begin{align} F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \left [ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n e^{jn\omega_0 t}\right ] e^{-j\omega t} dt = 2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n \delta(\omega -n\omega_0) \end{align}Sturm-Liouville方程式（工事中）
Sturm-Liouville方程式とは（工事中）
AndroidのBLE通信の実装は android.bluetoothパッケージのクラスを利用します。
このパッケージ配下にはBR/EDR機器との通信に利用するクラスなども混在しているので紛らわしいですが、BR/EDRとBLEは別物なので間違わないように。
BLE通信では下記のクラスを利用して、BluetoothのGATT通信を実装することになります。
\begin{align} F(\omega) = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\omega t}dt \end{align}解析力学（工事中）
変分定理と「最小作用の原理」
ある関数Lは、時間tと軌道q(t)の関数であるとして、この関数L(q,t)（ラグランジェ関数）の積分値（スカラー値）I
この時、「作用I」が最小値を取るための条件は、ある関数Lについて、時間tと軌道q(t)のとの関係が、以下の方程式が成り立つことである（変分定理）。
\begin{align} \cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial q'} - \cfrac{\partial L}{\partial q} = 0 \end{align}上式は「最小作用の原理」と呼ばれ、自然界の基本原理であり、ニュートンの運動方程式も量子力学のシュレディンガー方程式も、 この「最小作用の原理」から導くことができる。
つまり、上記の式を満たすラグランジェ関数L(q,t)が見つかれば、それは自然界の物理量である。
空気力学（工事中）
空気力学とは
流体力学の一分野で、物体が空気またはそのほかの気体の中を運動するとき、その物体の周囲の気体の流れや、それらの気体が物体に及ぼす力の状態を研究する学問。
扱う気体はかならずしも空気とは限らないので、正しくは気体力学であるが、空気以外の気体を対象とする場合がごく少ないことや、理論の応用が容易なので、ほかの気体をあわせて空気力学と総称している。
空気力学が対象としている空気は、まず粘性も圧縮性もない、いわゆる完全流体として扱われ、次に粘性のみを考慮し、さらに圧縮性を取り入れ、最後に両者をともに取り入れて研究されているが、 風洞施設および計算技術、コンピュータの発達によって、この理論は近年著しい発展を遂げている。
連続方程式
連続方程式は、流体力学における質量保存の法則であり、ρは密度、vは流れの速度、tは時間として、以下のように表される。
\begin{align} \Delta \cdot \rho v + \cfrac{\partial \rho}{\partial t} \equiv div \cdot \rho v + \cfrac{\partial \rho}{\partial t} \equiv \cfrac{\partial (\rho v)}{\partial x} + \cfrac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \cfrac{\partial (\rho v)}{\partial z} + \cfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \end{align}オイラーの運動方程式
オイラーの運動方程式は、流体力学における運動方程式であり、ρは密度、vは流れの速度、pは圧力、Fは外力（重力など）、tは時間として、以下のように表される。
\begin{align} \cfrac{D v}{D t} \equiv \cfrac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \Delta)v = F - \cfrac{1}{\rho} grad \cdot p \end{align}オイラーの運動方程式を速度の成分（vx, vy, vz）は、外力の成分（Fx, Fy, Fz）ごとに記述すると以下のようになる。
\begin{align} \cfrac{\partial v_x}{\partial t} + v_x \cfrac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \cfrac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \cfrac{\partial v_z}{\partial z} = F_x - \cfrac{1}{\rho} \cfrac{\partial p}{\partial x} \end{align} \begin{align} \cfrac{\partial v_y}{\partial t} + v_x \cfrac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \cfrac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \cfrac{\partial v_z}{\partial z} = F_y - \cfrac{1}{\rho} \cfrac{\partial p}{\partial y} \end{align} \begin{align} \cfrac{\partial v_z}{\partial t} + v_x \cfrac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \cfrac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \cfrac{\partial v_z}{\partial z} = F_z - \cfrac{1}{\rho} \cfrac{\partial p}{\partial z} \end{align}ラグランジェ型の運動方程式
ラグランジュ型の運動方程式というのは、流体の小さな部分(「流体素分」とか「流体粒子」とかいう)に注目して、それの運動を追いかける形で記述することだ。
質点や剛体(変形しない固体)の運動の記述を知っていれば、そこからの自然な発展と考えられるだろう。
ただし、流体素分が小さいとはいえ有限の大きさをもつとすると、その形は流れていくうちに変形していき、しだいに非常に細長いものになって、長さの尺度では小さいとは言えないものになってしまうだろう。
流体素分は無限に小さいものとすれば理屈はすっきりする。ただし現実の気体や液体は分子からなっており、無限に小さい素分というのは理想化だ。
体積要素dVの流体の運動量は、ρvdVであるから、この運動量の時間変化はニュートンの第2法則により、この部分に作用している力に等しいから、ラグランジュ微分を使用して以下の式を得る。
\begin{align} \cfrac{D}{D t}\iiint_V \rho v dV = \iiint_V \rho K dV - \iint_S pn dS \\ = \iiint_V \rho K dV - \iiint_V \nabla p dV \end{align}上式の右辺の変形には、ガウスの定理を使った。上式は任意のVに対して成立するので、積分を外して整理すると以下の式を得る。
\begin{align} \cfrac{D v}{D t} = K - \cfrac{1}{\rho}\nabla p \end{align}運動方程式の積分
速度ポテンシャル
流れ関数
蓮の花1